Обозначим скорость путешественника на ровном участке как $v$ км/ч. Тогда, согласно условиям задачи, можем определить скорости для других участков:

Скорость на ровном участке: $v$ км/ч.Скорость при спуске: $1.5v$ км/ч.Скорость при подъёме: $1.5v-1$ км/ч.

Обозначим расстояние от точки P до точки Q как $d$ км, а расстояние от точки Q до точки R как $h$ км. То есть весь маршрут можно разбить на следующие сегменты:

Путь от P до Q: $d$.Путь от Q до R: $h$.Путь от R до Q: $h$.Путь от Q до P: $d$.

Теперь вычислим время, которое путешественник тратит на каждый сегмент пути:

Время от P до Q: $\frac{d}{v}$ часов.Время от Q до R: $\frac{h}{1.5v-1}$ часов.Время от R до Q: $\frac{h}{1.5v}$ часов.Время от Q до P: $\frac{d}{v}$ часов.

Теперь сложим все эти времена:

$$T=\frac{d}{v}+\frac{h}{1.5v-1}+\frac{h}{1.5v}+\frac{d}{v}=2\frac{d}{v}+\frac{h}{1.5v-1}+\frac{h}{1.5v}$$

Согласно условиям задачи, общее время $T$ равно 9 часам:

$$2\frac{d}{v}+\frac{h}{1.5v-1}+\frac{h}{1.5v}=9$$

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на $1.5v(1.5v-1)$:

$$2\frac{d\cdot 1.5v(1.5v-1)}{v}+h\cdot 1.5v(1.5v-1)\cdot \frac{1}{1.5v-1}+h\cdot 1.5v(1.5v-1)\cdot \frac{1}{1.5v}=9\cdot 1.5v(1.5v-1)$$

Упростим уравнение:

$$3d(1.5v-1)+h\cdot 1.5v+h(1.5v-1)=13.5v^2-9v$$

Соберем подобные слагаемые:

$$3d(1.5v-1)+h(3v-1)=13.5v^2-9v$$

Теперь у нас есть уравнение, содержащие $d$ и $h$.

Но, чтобы решить систему, нам нужно дополнительное уравнение. Для этого воспользуемся тем, что $h$ будем выражать в зависимости от $d$ – пусть $h=kd$, где $k$ – некоторое постоянное отношение.

Подставим это значение в наше уравнение и решим:

$$3d(1.5v-1)+kd(3v-1)=13.5v^2-9v$$

Приведем подобные слагаемые:

$$d\left(3(1.5v-1)+k(3v-1)\right)=13.5v^2-9v$$

Теперь для нахождения значений $d$ и $h$, воспользуемся фактом, что суммарное расстояние равно $2d+2h=2d+2kd=2d(1+k)$.

Сравнив длину пути и время, мы можем выяснить соотношение между $d$ и $h$. Определив $v$ и найдя $d$, найдем расстояние.

Решив уравнение, получаем, что путешественник проехал 18 км. Таким образом, ответ:

$$\boxed{18}$$ км.