Нам необходимо найти угол ( \angle CQR ) в заданной геометрической конфигурации.

Дано:

Треугольник ( ABC ) с углом ( \angle B = 60^\circ ) и ( \angle BAC = 80^\circ ).Следовательно, угол ( \angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ ).

Пусть ( O ) — центр описанной окружности треугольника ( ABC ). Касательные проведены в точках ( A ) и ( C ), и пересеклись в точке ( P ). Используя свойства касательных, имеем, что углы ( OAP ) и ( OCP ) равны углам ( \angle OAB ) и ( \angle OCA ) соответственно.

Поскольку ( OA ) и ( OC ) радиусы окружности, мы знаем, что:

( \angle OAB = \angle B = 60^\circ )( \angle OCA = \angle C = 40^\circ )

Теперь рассмотрим свойства углов. Поскольку ( \angle OAP ) и ( \angle OCP ) равны этим углам, мы можем заметить, что:

( \angle APB = \angle OAB + \angle OAP = 60^\circ + (180^\circ - 80^\circ - 40^\circ) = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ )

Теперь рассмотрим перпендикуляр ( CS ) к линии ( BC ). Угол ( \angle CQS ) будет равен ( 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ ).

Нам необходимо выразить угол ( \angle CQR ). Поскольку ( R ) — это точка на линии ( AB ) в которой перпендикуляр из точки ( C ) пересекает ( AB ):
[
\angle CQR = \angle CQP + \angle PQR
]
где ( \angle PQR ) равно обязательно ( \angle A + \angle C = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ ).

Следовательно:
[
\angle CQR = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ
]

Исходя из этого, имеем, что:

[
S(QRP) = 180^\circ - \angle CQR - \angle PQR = 180^\circ - 50^\circ - 120^\circ = 10^\circ.
]

По результату умножаем на 10:
[
\angle CQR = 10^\circ.
]
Итак, ( S(QRP) = 10^\circ. )

Таким образом, ответ на задачу: ( S = 10^\circ. )