Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

Пусть одна сторона треугольника равна (a),другая сторона будет равна (b = a + 3) (так как одна сторона на 3 см больше другой),третья сторона равна 7 см.

Далее, используя закон косинусов, мы можем выразить связь между сторонами треугольника и углом между ними. Закон косинусов гласит:

[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),
]

где (c) — это третья сторона (в нашем случае (c = 7)), (C) — угол между сторонами (a) и (b), равный 60 градусам.

Подставим известные значения в формулу:

[
7^2 = a^2 + (a + 3)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 3) \cdot \cos(60^\circ).
]

Вспомним, что (\cos(60^\circ) = 0.5). Подставим это значение:

[
49 = a^2 + (a + 3)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 3) \cdot 0.5.
]

Теперь раскрываем скобки:

[
49 = a^2 + (a^2 + 6a + 9) - (a^2 + 3a).
]

Объединим все термины:

[
49 = a^2 + a^2 + 6a + 9 - a^2 - 3a,
]

что упрощается до:

[
49 = a^2 + 3a + 9.
]

Преобразуем это уравнение:

[
0 = a^2 + 3a + 9 - 49,
]
[
0 = a^2 + 3a - 40.
]

Теперь решаем квадратное уравнение (a^2 + 3a - 40 = 0) с помощью формулы дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169.
]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 13}{2}.
]

Таким образом, у нас есть два решения:

(a_1 = \frac{10}{2} = 5),(a_2 = \frac{-16}{2} = -8) (это решение не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной).

Значит, (a = 5) см. Теперь находим (b):

[
b = a + 3 = 5 + 3 = 8 \text{ см.}
]

Теперь мы можем найти периметр треугольника. Периметр (P) равен сумме всех трех сторон:

[
P = a + b + c = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см.}
]

Ответ: Периметр треугольника равен 20 см.