Для нахождения площади равнобедренной трапеции, где угол при основании равен 45°, а основания равны ( a = 1 \, \text{см} ) и ( b = 17 \, \text{см} ), сначала найдем высоту трапеции.

Пусть ( h ) — высота трапеции. Разделим трапецию на прямоугольный треугольник и прямоугольник. Обозначим длину боковой стороны (равные стороны равнобедренной трапеции) как ( c ).

С учётом, что угол при основании равен 45°, мы можем записать:

[
h = c \cdot \sin(45°) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]

И также, поскольку это равнобедренная трапеция, мы можем выразить основание, равное 17 см, через высоту. Когда мы опускаем перпендикуляры (высоты) из верхней базы на нижнюю, мы получаем два прямоугольных треугольника с углом 45°:
[
x = h \cdot \cot(45°) = h \cdot 1 = h
]
где ( x ) — это расстояние от конца верхнего основания до основания треугольника.

Таким образом, длина нижнего основания можно выразить как:

[
b = a + 2x
]
Таким образом, из условия:
[
17 = 1 + 2h
]
Решим это уравнение:
[
16 = 2h
]
[
h = 8 \, \text{см}
]

Теперь, зная высоту ( h ), можем найти площадь ( S ) трапеции по формуле:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
Подставим известные значения:
[
S = \frac{(1 + 17) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = \frac{144}{2} = 72 \, \text{см}^2
]

Итак, высота равнобедренной трапеции составляет ( 8 \, \text{см} ), а площадь — ( 72 \, \text{см}^2 ).