Рассмотрим последовательность $a_n=\sin \left(\frac{1}{n}\right)$, где $n$ — натуральное число.

Когда $n$ стремится к бесконечности, $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, и следовательно, $\sin \left(\frac{1}{n}\right)$ стремится к $\sin (0)=0$. На первый взгляд, может показаться, что предел этой последовательности равен нулю.

Однако, если рассматривать последовательность $a_n=\sin \left(\frac{1}{n}\right)$, то можно заметить, что значение $\frac{1}{n}$ при $n$ убывающих к бесконечности будет принимать все значения, близкие к нулю $срединатуральныхчисел$. Но это происходит постепенно, и $\sin \left(\frac{1}{n}\right)$ никогда не станет равным нулю для конечных $n$.

Однако если рассмотреть последовательность значений $a_n$, поскольку $n$ смотрится из множества натуральных чисел, можно заметить особенности, что значения $a_n$ будут находиться в пределах от -1 до 1. Поскольку синус — это периодическая функция, параметры поведения его значений также будут варьироваться. Таким образом, если сделать выбор последовательности из значений $n$, которые при делении на $\pi$ дают определённые остатки, это приведёт к тому, что значения синуса будут также варьироваться.

Таким образом, предел последовательности $a_n=\sin \left(\frac{1}{n}\right)$ действительно равен нулю, поскольку $\sin (x)$ сам по себе непрерывный и периодически колеблющийся вокруг нуля.

Но это важно: если мы будем рассматривать неумолимо переход к границе $x\to 0$ в общем виде через $x=\frac{1}{n}$, то важные акценты на его характер колебания и приближение к пределу заставляют не путать его с обычным функциональным предельным поведением, в котором стоит определить последовательность.

Таким образом, предел последовательности $a_n=\sin \left(\frac{1}{n}\right)$ действительно стремится к нулю. Но строго нормально оформленный подход всегда даст более точное представление о последовательности, потенциально используя другие значения и особенности его самой структуры, не беря в счёт перепутанные аспекты его предельного поведения.