Давайте решим уравнение $x^2+1\equiv 0\mathrm{mod}5$. Это можно переписать как:

$$x^2\equiv -1\mathrm{mod}5$$

Поскольку в модульной арифметике $-1$ эквивалентно $4$ $таккак(-1+5=4)$, мы можем записать уравнение как:

$$x^2\equiv 4\mathrm{mod}5$$

Теперь проверим, какие значения $x$ $от(0)до(4)$ удовлетворяют этому уравнению:

Таким образом, решения уравнения $x^2+1\equiv 0\mathrm{mod}5$ будут:

$$x\equiv 2\mathrm{mod}5\text{и}x\equiv 3\mathrm{mod}5$$

В итоге, мы нашли два решения: $x=2$ и $x=3$ в поле вычетов по модулю $5$.