Для нахождения производной функции $y=\frac{3x-1}{\sin x}$ воспользуемся правилом деления. Если $y=\frac{u}{v}$, где $u=3x-1$ и $v=\sin x$, тогда производная $y^{\prime }$ находится по формуле:

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Теперь вычислим производные $u^{\prime }$ и $v^{\prime }$:

Теперь подставим значения в формулу:

$$y^{\prime }=\frac{(3)(\sin x)-(3x-1)(\cos x)}{(\sin x{)}^2}$$

Упрощаем:

$$y^{\prime }=\frac{3\sin x-(3x-1)\cos x}{{\sin }^{2}x}$$

Таким образом, производная функции $y=\frac{3x-1}{\sin x}$ равна:

$$y^{\prime }=\frac{3\sin x-(3x-1)\cos x}{{\sin }^{2}x}$$