Для решения неравенства ( x^2 < 19 ) первым шагом будет найти границы, соответствующие данному неравенству.

Начнем с нахождения корней уравнения $x^2=19$:

$$x=\pm \sqrt{19}$$

Поскольку $\sqrt{19}\approx 4.36$, имеем:

[
x < -\sqrt{19} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{19}
]

Теперь можно записать неравенство:

[
-\sqrt{19} < x < \sqrt{19}
]

Так как $-\sqrt{19}\approx -4.36$ и $\sqrt{19}\approx 4.36$, это означает, что $x$ может принимать значения в интервале:

[
-4.36 < x < 4.36
]

Наименьшее целое значение, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $-4$.

Таким образом, ответ:

$$\boxed{-4}$$