Для решения задачи используем свойства углов и тригонометрические функции.

Обозначим угол при вершине прямоугольника, из которой проведена перпендикуляр, как $\alpha$. Согласно условию, перпендикуляр, проведённый к диагоналям, делит угол в соотношении 4:2, что можно записать как $4x$ и $2x$, где $x$ — это некая угловая величина.

Сложим углы:
$$4x+2x=6x.$$

Поскольку сумма углов в точке равна $180^{\circ }$, имеем:
$$6x=90^{\circ }.$$ Следовательно,
$$x=15^{\circ }.$$

Теперь можем найти оценки каждого угла:
$$4x=60^{\circ },2x=30^{\circ }.$$

Таким образом, острый угол, который нас интересует, равен $30^{\circ }$.