Для решения уравнения $\sqrt{70}\cos x+\sqrt{70}\sin x-\sqrt{35}=0$ давайте сначала упростим его. Переносим $-\sqrt{35}$ на правую сторону:

$$\sqrt{70}\cos x+\sqrt{70}\sin x=\sqrt{35}$$

Теперь мы можем выделить общий множитель $\sqrt{70}$:

$$\sqrt{70}(\cos x+\sin x)=\sqrt{35}$$

Поделим обе стороны на $\sqrt{70}$:

$$\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}}$$

Рассмотрим правую сторону:

$$\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}}=\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь у нас имеется уравнение:

$$\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используем известное преобразование: мы можем выразить $\cos x+\sin x$ как:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Делим обе стороны на $\sqrt{2}$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$$

Теперь решим это уравнение. У нас есть:

$$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{или}x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$$

Где $k$ — любое целое число.

Решая первое уравнение:

$$x=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+2k\pi =\frac{2\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}+2k\pi =-\frac{\pi }{12}+2k\pi$$

Решая второе уравнение:

$$x=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+2k\pi =\frac{10\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}+2k\pi =\frac{7\pi }{12}+2k\pi$$

Таким образом, все решения уравнения:

$$x=-\frac{\pi }{12}+2k\pi \text{и}x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$