Для решения неравенства ( x^2 + 5x - 6 \leq 0 ) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения:

[
x^2 + 5x - 6 = 0
]

Используем формулу корней квадратного уравнения:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]

где ( D = b^2 - 4ac ). Подставляем ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -6 ):

[
D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49
]

Теперь находим корни:

[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}
]

Находим два корня:

( x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 )( x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 )

Корни уравнения: ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -6 ).

Теперь мы можем представить неравенство в виде:

[
(x + 6)(x - 1) \leq 0
]

Для нахождения интервалов, на которых это неравенство выполняется, определим знаки произведения ( (x + 6)(x - 1) ) на промежутках, определяемых корнями:

( (-\infty, -6) )( (-6, 1) )( (1, +\infty) )

Итак, выбираем несколько тестовых значений:

Для ( x = -7 ) (из интервала ( (-\infty, -6) )): ((-7 + 6)(-7 - 1) = (-1)(-8) > 0)Для ( x = 0 ) (из интервала ( (-6, 1) )): ((0 + 6)(0 - 1) = (6)(-1) < 0)Для ( x = 2 ) (из интервала ( (1, +\infty) )): ((2 + 6)(2 - 1) = (8)(1) > 0)

Таким образом, неравенство выполняется на интервале ( [-6, 1] ).

Теперь найдем количество целочисленных решений в этом интервале. В интервале от (-6) до (1) включительно целые числа:

(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1).

Итак, это 8 целых чисел.

Ответ: 8 целочисленных решений.