В 10-адических числах, когда мы рассматриваем дроби, мы работаем с разложением и представлением чисел в 10-адической системе. Чтобы найти 1:3 в 10-адических числах, нужно искать такое 10-адическое число, которое, умноженное на 3, даст 1.

В 10-адической системе такое число можно представить как бесконечную серию. Мы можем записать 1/3 в виде 10-адического ряда. Один из способов сделать это — использовать метод дробей:

Начнем с нахождения остатка от деления: (1 \div 3 = 0,333...)В 10-адической системе это можно интерпретировать как:
[
\frac{1}{3} = 0.33333..._{10}
]

Однако мы можем использовать более формальный подход:

Следуем по правилам нахождения 10-адического представления:

[
\frac{1}{3} \equiv 1 \cdot 3^{-1} \mod 10^n
]

Найдём мультипликативную обратную для (3) в (10)-адическом арифметике. Нужно решить уравнение (3x \equiv 1 \mod 10).

Проверяя, мы можем видеть, что (x = 7) подходит, поскольку:
[
3 \cdot 7 = 21 \equiv 1 \mod 10
]

Теперь, далее можем использовать метод итераций для обретения 10-адической экспансии.

Используя
[
\frac{1}{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...
]
Таким образом, в 10-адической системе мы получим:
[
\frac{1}{3} = 7 + 10 + 10^2 + 10^3 + ... = 7 + 10 \cdot (1 + 10 + 10^2 + ... )
]
Где (1 + 10 + 10^2 + ...) — это геометрическая прогрессия.

Поэтому ( \frac{1}{3} ) в 10-адической системе будет выглядеть как:
[
\frac{1}{3} = 7 + \text{(бесконечная последовательность цифр 3)}
]
Более формально, выражая в виде 10-адического числа, это может быть записано как ( \ldots 337\ldots )

Таким образом, (1:3) в 10-адических числах будет представлено как:
[
\frac{1}{3} \equiv 3^n \cdot (7 + 0 \cdot 10 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdots )
]
Где (n) влияет на то, сколько нулей мы в конце добавляем.