Давайте решим каждую из задач.

Задача 1:

Даны две параллельные плоскости, и из точки A одной плоскости проведены параллельные прямые до пересечения в точке A с точкой B этой же плоскости.

Если ( AB_1 = 3 ) см и точка ( B_1 ) лежит на той же прямой, что и точки A и B, следовательно, отрезок AB будет перпендикулярен прямым, проведённым из A и B. В случае двух параллельных плоскостей, отрезок AB будет равен отрезку AB₁, поскольку расстояние между параллельными плоскостями — постоянная величина, и длины отрезков, проведённых перпендикулярно, сохраняются.

Ответ: длина отрезка ( AB = 3 ) см.

Задача 2:

Дан отрезок ( MN ) и его середина ( K ). Проведем параллельные прямые, которые пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( M_1, N_1, K_1 ).

Из условия известно:

( MM_1 = 6 ) см( KK_1 = 4 ) см

Сначала найдем длину отрезка ( N * N_1 ).

Так как прямые, проведенные через точки M и N и их середину K, параллельны, то длины отрезков будут пропорциональны:

[
\frac{N N_1}{M M_1} = \frac{1}{2}
]

Так как ( K ) — это середина отрезка ( MN ), длина отрезка ( MN = 2KK_1 ).

Используем данные:

( M * M_1 = 6 ) см => отрезок будет 6 см.( K*K_1 = 4 ) см => отрезок будет 4 см.

Так, для отрезка ( N * N_1 ):

[
N N_1 = \frac{1}{2} M M_1 = \frac{1}{2} 6 = 3 \text{ см}
]

Итак, длина отрезка ( NN_1 = 3 ) см.

Ответ: длина отрезка ( NN_1 = 3 ) см.