Доказательство неравенства можно выполнить с использованием неравенства Коши-Буняковского.

Рассмотрим выражение ( S = \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} ). Мы можем применить неравенство Коши-Буняковского к каждой дроби:

[
\frac{ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{4} \quad \text{(по неравенству для средних)}
]
Это справедливо, поскольку:

[
\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{4}
]

Аналогично, для других дробей мы можем записать:

[
\frac{bc}{b + c} \leq \frac{b + c}{4}
]
[
\frac{ac}{a + c} \leq \frac{a + c}{4}
]

Теперь сложим все неравенства:

[
S \leq \frac{a + b}{4} + \frac{b + c}{4} + \frac{a + c}{4} = \frac{2a + 2b + 2c}{4} = \frac{a + b + c}{2}
]

Теперь нам нужно ограничить сумму ( S ). Поскольку ( abc = 8 ), мы можем использовать неравенство АМ–ГМ:

[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{8} = 2
]

Отсюда получится:

[
a + b + c \geq 6
]

Таким образом, подставим в неравенство для ( S ):

[
S \leq \frac{a + b + c}{2} \geq \frac{6}{2} = 3
]

Таким образом, мы доказали, что

[
S \leq 3.
]

Итак,

[
\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \leq 3,
]

что и требовалось доказать.