Для анализа корней многочленов, давайте вспомним некоторые свойства:

Сумма двух многочленов: Сумма двух многочленов четвёртой степени $P(x)=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ и $Q(x)=b_4{x}^4+b_3{x}^3+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0$ остаётся многочленом четвёртой степени. Такой многочлен может иметь от 0 до 4 корней.

Разность двух многочленов: Разность двух многочленов четвёртой степени также остаётся многочленом четвёртой степени, и может иметь от 0 до 4 корней.

Произведение двух многочленов: Произведение двух приведённых многочленов четвёртой степени даёт многочлен восьмой степени. Он может иметь от 0 до 8 корней.

Сложение многочлена четвёртой и третьей степени: Сложение четвёртой степени и третьей степени остаётся многочленом четвертой степени, который может иметь от 0 до 4 корней.

С учётом этих свойств, перечислим ваши утверждения:

$P(x)+Q(x)$ может иметь 3 корня — верно $возможныситуациис0,1,2,3или4корнями$.

$P(x)+Q(x)$ может иметь 4 корня — верно.

$P(x)+Q(x)$ может иметь 5 корней — неверно, так как сумма остаётся многочленом четвёртой степени.

$P(x)-Q(x)$ может иметь 3 корня — верно.

$P(x)-Q(x)$ может иметь 4 корня — верно.

$P(x)-Q(x)$ может иметь 5 корней — неверно, по той же причине, что разность остаётся многочленом четвёртой степени.

$P(x)\cdot Q(x)$ может иметь 6 корней — верно, так как возможно, что один из многочленов имеет 2 корня, а другой 4, или другие варианты.

$P(x)\cdot Q(x)$ может иметь 7 корней — верно, аналогично.

$P(x)\cdot Q(x)$ может иметь 8 корней — верно, если оба многочлена имеют по 4 корня.

Подводя итог, правильные утверждения: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9.