Многочлен 2?3+??2+??−3
при делении на ?−2
Многочлен 2?^3+??^2+??−3
при делении на ?−2
даёт в остатке 27 , а при делении на ?+3
даёт в остатке −3 . Найдите остаток от деления этого многочлена на ?+2 .
Многочлен 2?3+??2+??−3
при делении на ?−2
Многочлен 2?^3+??^2+??−3
при делении на ?−2
даёт в остатке 27 , а при делении на ?+3
даёт в остатке −3 . Найдите остаток от деления этого многочлена на ?+2 .
при делении на ?−2
Многочлен 2?^3+??^2+??−3
при делении на ?−2
даёт в остатке 27 , а при делении на ?+3
даёт в остатке −3 . Найдите остаток от деления этого многочлена на ?+2 .
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для нахождения остатка от деления многочлена P(x)=2x3+ax2+bx−3 P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 P(x)=2x3+ax2+bx−3 на x+2 x + 2 x+2, будем использовать условия, которые вы задали.
Вам известно, что:
При делении P(x) P(x) P(x) на x−2 x - 2 x−2 остаток равен 27:
P(2)=2(2)3+a(2)2+b(2)−3=27 P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 3 = 27
P(2)=2(2)3+a(2)2+b(2)−3=27 Подставляя значения, получим:
2⋅8+4a+2b−3=27 16+4a+2b−3=27 4a+2b+13=27 4a+2b=14 2a+b=7(1) 2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3 = 27 \
16 + 4a + 2b - 3 = 27 \
4a + 2b + 13 = 27 \
4a + 2b = 14 \
2a + b = 7 \quad (1)
2⋅8+4a+2b−3=27 16+4a+2b−3=27 4a+2b+13=27 4a+2b=14 2a+b=7(1)
При делении P(x) P(x) P(x) на x+3 x + 3 x+3 остаток равен -3:
P(−3)=2(−3)3+a(−3)2+b(−3)−3=−3 P(-3) = 2(-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 3 = -3
P(−3)=2(−3)3+a(−3)2+b(−3)−3=−3 Подставляя значения, получим:
2⋅(−27)+9a−3b−3=−3 −54+9a−3b−3=−3 9a−3b−57=−3 9a−3b=54 3a−b=18(2) 2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3 = -3 \
-54 + 9a - 3b - 3 = -3 \
9a - 3b - 57 = -3 \
9a - 3b = 54 \
3a - b = 18 \quad (2)
2⋅(−27)+9a−3b−3=−3 −54+9a−3b−3=−3 9a−3b−57=−3 9a−3b=54 3a−b=18(2)
Теперь мы можем решить систему уравнений 111 и 222:
2a+b=7(1) 3a−b=18(2) 2a + b = 7 \quad (1) \
3a - b = 18 \quad (2)
2a+b=7(1) 3a−b=18(2)
Сложив оба уравнения, получим:
2a+b+3a−b=7+18 5a=25 a=5 2a + b + 3a - b = 7 + 18 \
5a = 25 \
a = 5
2a+b+3a−b=7+18 5a=25 a=5
Подставим значение a a a в уравнение 111:
2(5)+b=7 10+b=7 b=7−10 b=−3 2(5) + b = 7 \
10 + b = 7 \
b = 7 - 10 \
b = -3
2(5)+b=7 10+b=7 b=7−10 b=−3
Теперь у нас есть значения a=5 a = 5 a=5 и b=−3 b = -3 b=−3. Теперь наш многочлен:
P(x)=2x3+5x2−3x−3 P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
P(x)=2x3+5x2−3x−3
Теперь мы можем найти остаток от деления P(x) P(x) P(x) на x+2 x + 2 x+2:
P(−2)=2(−2)3+5(−2)2−3(−2)−3 P(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 3(-2) - 3
P(−2)=2(−2)3+5(−2)2−3(−2)−3 Подставляя значения:
=2(−8)+5(4)+6−3 =−16+20+6−3 =−16+20+3 =7 = 2(-8) + 5(4) + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 3 \
= 7
=2(−8)+5(4)+6−3 =−16+20+6−3 =−16+20+3 =7
Итак, остаток от деления многочлена P(x) P(x) P(x) на x+2 x + 2 x+2 равен 7 7 7.
Обозначим многочлен как \( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 \).
### Шаг 1. Найдём остаток при делении на \( x - 2 \)
По условию:
\[
P(2) = 27
\]
Подставим \( x = 2 \) в многочлен:
\[
P(2) = 2 \cdot 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3
\]
\[
27 = 2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3
\]
\[
27 = 16 + 4a + 2b - 3
\]
\[
27 = 13 + 4a + 2b
\]
\[
4a + 2b = 14
\]
\[
2a + b = 7 \quad \text{(уравнение 1)}
\]
### Шаг 2. Найдём остаток при делении на \( x + 3 \)
По условию:
\[
P(-3) = -3
\]
Подставим \( x = -3 \) в многочлен:
\[
P(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3
\]
\[
-3 = 2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3
\]
\[
-3 = -54 + 9a - 3b - 3
\]
\[
-3 = -57 + 9a - 3b
\]
\[
9a - 3b = 54
\]
\[
3a - b = 18 \quad \text{(уравнение 2)}
\]
### Шаг 3. Решим систему уравнений
Из уравнений 1 и 2:
\[
2a + b = 7
\]
\[
3a - b = 18
\]
Сложим эти два уравнения:
\[
5a = 25
\]
\[
a = 5
\]
Подставим \( a = 5 \) в первое уравнение:
\[
2 \cdot 5 + b = 7
\]
\[
10 + b = 7
\]
\[
b = -3
\]
### Шаг 4. Найдём остаток при делении на \( x + 2 \)
Теперь, когда \( a = 5 \) и \( b = -3 \), наш многочлен:
\[
P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
\]
Чтобы найти остаток при делении на \( x + 2 \), подставим \( x = -2 \) в \( P(x) \):
\[
P(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 3
\]
\[
= 2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 + 6 - 3
\]
\[
= -16 + 20 + 6 - 3
\]
\[
= 7
\]
**Ответ:** Остаток при делении многочлена на \( x + 2 \) равен \( 7 \).