Для решения данной задачи сначала запишем многочлен, который мы делим, и делитель:

Пусть $P(x)=x^3+ax+1$ - это исходный многочлен, который мы делим.
Пусть $D(x)=x^2+x-1$ - это делитель.

Согласно условию, остаток от деления $P(x)$ на $D(x)$ равен $-x$.

По теореме о делении многочленов мы имеем:
$$P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)$$ где $Q(x)$ - частное, а $R(x)$ - остаток. В данном случае остаток $R(x)$ может быть представлен как $R(x)=kx+m$, где $k$ и $m$ - некоторые коэффициенты $вданномслучае(R(x)=-x)$.

Теперь подставим $P(x)$ и $R(x)$ в наше уравнение:
$$x^3+ax+1=(x^2+x-1)\cdot Q(x)-x$$

Рассмотрим, что $Q(x)$ - это многочлен второго или первого порядка $таккакделимнамногочленвторогопорядка$. Но для упрощенной задачи можно рассмотреть лишь частный случай, а именно, выразим $Q(x)$ как многочлен первой степени:
$$Q(x)=bx+c$$

Тогда у нас получится:
$$P(x)=(x^2+x-1)(bx+c)-x$$

Теперь раскроем скобки:
$$P(x)=(b{x}^3+c{x}^2+b{x}^2+cx-bx-c)-x=b{x}^3+(b+c)x^2+(c-b-1)x-c$$

Сравниваем коэффициенты с $P(x)=x^3+ax+1$:

Коэффициент перед $x^3$: $b=1$Коэффициент перед $x^2$: $b+c=0$Коэффициент перед $x$: $c-b-1=a$Свободный член: $-c=1$

Подставляем известные значения:

Из $b=1$ имеем $1+c=0$ => $c=-1$.Подставляем $c=-1$ в $c-b-1=a$: $-1-1-1=a$ => $a=-3$.Из $-c=1$ мы видим, что оно также выполняется.

Таким образом, мы нашли значение $a=-3$.

Ответ:
$$a=-3$$