Коллинеарны ли векторы а = (1;-1;2) 6 = (2;2;-4)?
Коллинеарны ли векторы а = (1;-1;2) 6 = (2;2;-4)?
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Чтобы проверить, коллинеарны ли векторы a=(1,−1,2)\mathbf{a} = (1, -1, 2)a=(1,−1,2) и b=(2,2,−4)\mathbf{b} = (2, 2, -4)b=(2,2,−4), нужно выяснить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью некоторого скаляра kkk:
b=k⋅a \mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}
b=k⋅a
Это можно сделать, приравняв компоненты векторов:
2=k⋅1 2=k⋅(−1) −4=k⋅2 2 = k \cdot 1 \
2 = k \cdot (-1) \
-4 = k \cdot 2
2=k⋅1 2=k⋅(−1) −4=k⋅2
Теперь решим каждое уравнение:
Из первого уравнения: k=2k = 2k=2.Из второго уравнения: k=−2k = -2k=−2.Из третьего уравнения: k=−2k = -2k=−2.Мы видим, что значение kkk не совпадает для всех уравнений впервом(k=2),авовторомитретьем(k=−2)в первом (k = 2), а во втором и третьем (k = -2)впервом(k=2),авовторомитретьем(k=−2).
Таким образом, векторы a\mathbf{a}a и b\mathbf{b}b не коллинеарны.
Рассмотрим ещё раз, коллинеарны ли векторы \(\mathbf{a} = (1; -1; 2)\) и \(\mathbf{b} = (2; 2; -4)\).
Для того чтобы два вектора были коллинеарны, один должен быть пропорционален другому, то есть, должны существовать такие множители, при которых:
\[
\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}.
\]
Или, иначе говоря, каждый компонент \(\mathbf{b}\) должен быть равен соответствующему компоненту \(\mathbf{a}\), умноженному на одно и то же число \(k\). Тогда:
\[
\mathbf{a} = (1; -1; 2), \quad \mathbf{b} = (2; 2; -4)
\]
Запишем систему для каждого компонента:
\[
\begin{cases}
2 = k \cdot 1, \\
2 = k \cdot (-1), \\
-4 = k \cdot 2.
\end{cases}
\]
1. **Первое уравнение**: \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\).
2. **Второе уравнение**: \(2 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -2\).
Здесь сразу видно противоречие: \(k\) не может одновременно быть равен \(2\) и \(-2\).
### Вывод
Так как не существует одного числа \(k\), которое удовлетворяло бы всем уравнениям, векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) **не коллинеарны**.
Рассмотрим ещё раз, коллинеарны ли векторы \(\mathbf{a} = (1; -1; 2)\) и \(\mathbf{b} = (2; 2; -4)\).
Для того чтобы два вектора были коллинеарны, один должен быть пропорционален другому, то есть, должны существовать такие множители, при которых:
\[
\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}.
\]
Или, иначе говоря, каждый компонент \(\mathbf{b}\) должен быть равен соответствующему компоненту \(\mathbf{a}\), умноженному на одно и то же число \(k\). Тогда:
\[
\mathbf{a} = (1; -1; 2), \quad \mathbf{b} = (2; 2; -4)
\]
Запишем систему для каждого компонента:
\[
\begin{cases}
2 = k \cdot 1, \\
2 = k \cdot (-1), \\
-4 = k \cdot 2.
\end{cases}
\]
1. **Первое уравнение**: \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\).
2. **Второе уравнение**: \(2 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -2\).
Здесь сразу видно противоречие: \(k\) не может одновременно быть равен \(2\) и \(-2\).
### Вывод
Так как не существует одного числа \(k\), которое удовлетворяло бы всем уравнениям, векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) **не коллинеарны**.