Компланарны ли векторы l=a-5b+4x, m=4a-b+c, n=a+b-c, если векторы a,b,c не являются компланарными
Компланарны ли векторы l=a-5b+4x, m=4a-b+c, n=a+b-c, если векторы a,b,c не являются компланарными
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для того чтобы определить, компланарны ли векторы l,m \mathbf{l}, \mathbf{m} l,m и n \mathbf{n} n, можно использовать так называемый критерий компланарности. Если векторы компланарны, то существует возможность записать один из векторов как линейную комбинацию остальных.
Векторы a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c не являются компланарными, значит, они не лежат в одной плоскости и образуют базис трехмерного пространства.
Теперь рассмотрим векторы:
l=a−5b+4x \mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{x}
l=a−5b+4x m=4a−b+c \mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
m=4a−b+c n=a+b−c \mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}
n=a+b−c
Сначала заметим, что все три вектора l,m,n \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} l,m,n зависят от вектора x \mathbf{x} x. Если вектор x \mathbf{x} x является линейной комбинацией векторов a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c, то векторы l,m,n \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} l,m,n могут оказаться компланарными.
Тем не менее, если x \mathbf{x} x не является линейной комбинацией a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c, то векторы l,m,n \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} l,m,n не смогут быть компланарными. Для доказательства компланарности можно использовать определитель:
D=det(l,m,n) D = \det(\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n})
D=det(l,m,n)
Если D=0 D = 0 D=0, то векторы компланарны, если D≠0 D \neq 0 D=0, то они не компланарны.
Кратко: так как векторы a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c не компланарны, и вектор x \mathbf{x} x может изменять положение векторов l,m,n \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} l,m,n, то для окончательного ответа необходимо знать, как именно вектор x \mathbf{x} x соотносится с a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c. Однако, если x \mathbf{x} x не является линейной комбинацией a,b,c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a,b,c, то векторы l,m,n \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} l,m,n не будут компланарными.
Определим, компланарны ли векторы \( \mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{c} \), \( \mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \) и \( \mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \), если векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) некомпланарны.
Три вектора будут компланарными, если их **смешанное произведение равно нулю**. Это можно записать так:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0.
\]
Вычислим смешанное произведение \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \) через определитель, используя координаты векторов:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] =
\begin{vmatrix}
1 & -5 & 4 \\
4 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix}.
\]
### Шаг 1: Вычислим определитель
Раскроем определитель по первой строке:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}
- (-5) \cdot
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}
+ 4 \cdot
\begin{vmatrix}
4 & -1 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}.
\]
Теперь найдём значение каждого из малых определителей:
1. \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 \),
2. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (1)(1) = -4 - 1 = -5 \),
3. \( \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5 \).
Подставляем эти значения в выражение для определителя:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) + 4 \cdot 5.
\]
Считаем:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0 - 25 + 20 = -5.
\]
### Вывод
Поскольку \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \neq 0 \), векторы \( \mathbf{l} \), \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) **не компланарны**.
Определим, компланарны ли векторы \( \mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{c} \), \( \mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \) и \( \mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \), если векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) некомпланарны.
Три вектора будут компланарными, если их **смешанное произведение равно нулю**. Это можно записать так:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0.
\]
Вычислим смешанное произведение \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \) через определитель, используя координаты векторов:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] =
\begin{vmatrix}
1 & -5 & 4 \\
4 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix}.
\]
### Шаг 1: Вычислим определитель
Раскроем определитель по первой строке:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}
- (-5) \cdot
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}
+ 4 \cdot
\begin{vmatrix}
4 & -1 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}.
\]
Теперь найдём значение каждого из малых определителей:
1. \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 \),
2. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (1)(1) = -4 - 1 = -5 \),
3. \( \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5 \).
Подставляем эти значения в выражение для определителя:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) + 4 \cdot 5.
\]
Считаем:
\[
[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0 - 25 + 20 = -5.
\]
### Вывод
Поскольку \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \neq 0 \), векторы \( \mathbf{l} \), \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) **не компланарны**.