Чтобы рассмотреть задачу о точной степени суммы факториалов простых чисел, начнем с определения, что такая сумма принимает следующий вид:

$$S(n)=p_1!+p_2!+...+p_n!$$

где $p_1,p_2,\dots ,p_n$ — первые $n$ простых чисел.

Мы можем отдельно рассмотреть небольшие значения $n$ и вычислить соответствующие суммы факториалов простых чисел, чтобы понять, когда это может быть точной степенью.

Для $n=1$:
$$S(1)=2!=2$$ Это можно выразить как $2^1$.

Для $n=2$:
$$S(2)=2!+3!=2+6=8$$ Это равно $2^3$.

Для $n=3$:
$$S(3)=2!+3!+5!=2+6+120=128$$ Это равно $2^7$.

Для $n=4$:
$$S(4)=2!+3!+5!+7!=2+6+120+5040=5168$$ Это не является степенью числа.

Для $n=5$:
$$S(5)=2!+3!+5!+7!+11!=2+6+120+5040+39916800$$ Подсчет указывает, что это намного больше, чем результат.

Мы можем заметить, что $n\ge 4$ приведёт к значительным увеличениям из-за роста факториалов. Каждое добавленное значение фактически умножает сумму в несколько раз и не всегда дает возможность отделить чистую степень.

Таким образом, имеем следующие возможные $n$:

Другие $n$ $начинаяс(n=4)$ не дают точных степеней простых чисел.

Напоследок, все вышеизложенные вычисления подчеркивают, что никакие суммы с младшими значениями независимых факторов, по сути, не смогут составить истинную степень более высоких чисел.

Таким образом, достаточно проанализировав, можно сказать, что единственные $n$, для которых сумма факториалов первых $n$ простых чисел является точной степенью числа, — это 1, 2 и 3 $суммыравнысоответственно(2^1,2^3,2^7)$.

Чтобы рассмотреть задачу о точной степени суммы факториалов простых чисел, начнем с определения, что такая сумма принимает следующий вид:

$$S(n)=p_1!+p_2!+...+p_n!$$

где $p_1,p_2,\dots ,p_n$ — первые $n$ простых чисел.

Мы можем отдельно рассмотреть небольшие значения $n$ и вычислить соответствующие суммы факториалов простых чисел, чтобы понять, когда это может быть точной степенью.

Для $n=1$:

$$</p><p>S(1)=2!=2</p><p>$$

Это можно выразить как $2^1$.

Для $n=2$:

$$</p><p>S(2)=2!+3!=2+6=8</p><p>$$

Это равно $2^3$.

Для $n=3$:

$$</p><p>S(3)=2!+3!+5!=2+6+120=128</p><p>$$

Это равно $2^7$.

Для $n=4$:

$$</p><p>S(4)=2!+3!+5!+7!=2+6+120+5040=5168</p><p>$$

Это не является степенью числа.

Для $n=5$:

$$</p><p>S(5)=2!+3!+5!+7!+11!=2+6+120+5040+39916800</p><p>$$

Подсчет указывает, что это намного больше, чем результат.

Мы можем заметить, что $n\ge 4$ приведёт к значительным увеличениям из-за роста факториалов. Каждое добавленное значение фактически умножает сумму в несколько раз и не всегда дает возможность отделить чистую степень.

Таким образом, имеем следующие возможные $n$:

Для $n=1$, $S(1)=2^1$Для $n=2$, $S(2)=2^3$Для $n=3$, $S(3)=2^7$

Другие $n$ $начинаяс(n=4)$ не дают точных степеней простых чисел.

Напоследок, все вышеизложенные вычисления подчеркивают, что никакие суммы с младшими значениями независимых факторов, по сути, не смогут составить истинную степень более высоких чисел.

Таким образом, достаточно проанализировав, можно сказать, что единственные $n$, для которых сумма факториалов первых $n$ простых чисел является точной степенью числа, — это 1, 2 и 3 $суммыравнысоответственно(2^1,2^3,2^7)$.