Для анализа ограниченности последовательности $a(n)=\tan \left(\frac{1}{n}\right)$ и $b(n)=\log (5)\sqrt{n}$, рассмотрим каждую из них отдельно.

Последовательность $a(n)=\tan \left(\frac{1}{n}\right)$:

Когда $n\to \infty$, $\frac{1}{n}\to 0$. Мы знаем, что $\tan (x)$ приближается к $x$ при $x$ стремящемся к 0. Следовательно,

$$\tan \left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}$$

Таким образом, $a(n)\to 0$ при $n\to \infty$. Это подразумевает, что последовательность ограничена: например, для всех $n$ значение $a(n)$ будет положительным и, через некоторое время, будет приближаться к 0 и оставаться больше 0.

В общем случае, поскольку $\tan (x)$ является ограниченной в интервале, где $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, то $a(n)$ ограничена.

Последовательность $b(n)=\log (5)\sqrt{n}$:

Эта последовательность является неограниченной. Поскольку $\sqrt{n}$ стремится к бесконечности, то и произведение $\log (5)\cdot \sqrt{n}$ также стремится к бесконечности, учитывая, что $\log (5)$ является положительным постоянным числом. В результате $b(n)$ не ограничена.

Итак, обобщая:

Последовательность $a(n)=\tan \left(\frac{1}{n}\right)$ ограничена.Последовательность $b(n)=\log (5)\sqrt{n}$ неограничена.