Для решения задачи о том, сколько способов можно разложить 6 шаров $2черных,2красных,1белый,1синий$ в ряд, беря 5 шаров, нужно воспользоваться формулой для перестановок с учетом повторений.

Шаг 1: Выбор шаров

Мы можем выбрать:

2 черных и 2 красных $и1любойдругойшар-белыйилисиний$.2 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий.1 черный, 2 красных и 1 белый и 1 синий.2 красных, 2 черных и 1 любой другой.1 черный, 1 красный и 3 любых других $такоеневозможно,таккаквсего6шаров$.Шаг 2: Подсчет различных случаев

Теперь посчитаем каждую комбинацию:

Случай 1: 2 черных, 2 красных, 1 белый.

Выбор: 2 черных, 2 красных, 1 белый $C_1$.Перестановки:
$$\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=\frac{120}{4\cdot 1}=30.$$

Случай 2: 2 черных, 1 красный, 1 белый, 1 синий.

Выбор: 2 черных, 1 красный, 1 белый, 1 синий $C_2$.Перестановки:
$$\frac{5!}{2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{120}{2}=60.$$

Случай 3: 1 черный, 2 красных, 1 белый, 1 синий.

Выбор: 1 черный, 2 красных, 1 белый, 1 синий $C_3$.Перестановки:
$$\frac{5!}{1!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{120}{2}=60.$$

Случай 4: 2 красных, 2 черных, 1 любой другой $значиттолькосиний$.

Этот случай уже учтен в Случае 1.Шаг 3: Суммирование возможных вариантов

Теперь сложите количество способов из всех случаев:

$$30(Случай1)+60(Случай2)+60(Случай3)=150.$$

Таким образом, итоговое число способов разложить 5 шаров в ряд равно 150.