Чтобы найти угол между прямыми $B{A}_1$ и $C{B}_1$ в единичном кубе, начнем с того, что зададим координаты вершин куба следующим образом:

Теперь определим векторы для прямых $B{A}_1$ и $C{B}_1$:

Вектор $B{A}_1$:
$$B{A}_1=A_1-B=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)$$

Вектор $C{B}_1$:
$$C{B}_1=B_1-C=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)$$

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами. Угол $\theta$ между векторами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ можно найти с помощью скалярного произведения:

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$$

Теперь найдем скалярное произведение $B{A}_1$ и $C{B}_1$:

$$B{A}_1\cdot C{B}_1=(-1,0,1)\cdot (0,-1,1)=-1\cdot 0+0\cdot (-1)+1\cdot 1=1$$

Теперь найдем длины векторов $B{A}_1$ и $C{B}_1$:

$$|B{A}_1|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+1^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

$$|C{B}_1|=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$$

Теперь подставим все в формулу:

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

Теперь найдем угол:

$$\theta =\arccos \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{3}\text{(или}60^{\circ }\text{)}$$

Таким образом, угол между прямыми $B{A}_1$ и $C{B}_1$ равен $60^{\circ }$.