Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку ( N(1, -1, 0) ), и параллельной заданной прямой, необходимо сначала выразить направление заданной прямой.

Данная прямая задана векторно:

[
\begin{cases}
x = 2t + 3 \
y = -3t + 1 \
z = -7t - 4
\end{cases}
]

Вектор-координаты этой прямой можно описать следующим образом. Прямую можно записать в виде:

[
\vec{r}(t) = \begin{pmatrix}
3 \
1 \
-4
\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}
2 \
-3 \
-7
\end{pmatrix}
]

где ( \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ -7 \end{pmatrix} ) — это направляющий вектор ( \vec{d} ) прямой.

Теперь мы можем воспользоваться этой информацией, чтобы определить уравнение прямой, проходящей через точку ( N(1, -1, 0) ) и параллельной заданной прямой.

Уравнение прямой векторной форме можно записать следующим образом:

[
\vec{r}(s) = \begin{pmatrix}
1 \
-1 \
0
\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}
2 \
-3 \
-7
\end{pmatrix}
]

где ( s ) — параметр, изменяющийся по всему множеству действительных чисел.

Если записать это в координатной форме, получаем:

[
\begin{cases}
x = 1 + 2s \
y = -1 - 3s \
z = 0 - 7s
\end{cases}
]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку ( N(1, -1, 0) ) и параллельной заданной прямой, имеет вид:

[
\begin{cases}
x = 1 + 2s \
y = -1 - 3s \
z = -7s
\end{cases}
]