Давайте рассмотрим выражение (\frac{2n + 1}{n^2}) и определим, когда оно является целым числом.

Итак, мы хотим, чтобы (\frac{2n + 1}{n^2} = k), где (k) — целое число. Можно переписать это уравнение как:

[
2n + 1 = k n^2
]

Переставляя его, мы получаем:

[
kn^2 - 2n - 1 = 0
]

Это квадратное уравнение относительно (n). Мы применим discriminant (дискриминант) для того, чтобы найти целые решения. Дискриминант (D) нашего уравнения равен:

[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot k \cdot (-1) = 4 + 4k = 4(1 + k)
]

Чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант должен быть квадратом целого числа. То есть, должно выполняться условие, что (1 + k = m^2) для некоторого целого (m). Это можно записать как:

[
k = m^2 - 1
]

Подставим (k) обратно в квадратное уравнение:

[
(m^2 - 1)n^2 - 2n - 1 = 0
]

Решим это уравнение по (n):

[
n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{D}}{2(m^2 - 1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 + m^2 - 1)}}{2(m^2 - 1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4m^2}}{2(m^2 - 1)} = \frac{2 \pm 2m}{2(m^2 - 1)} = \frac{1 \pm m}{m^2 - 1}
]

Таким образом, мы получаем два потенциальных значения для (n):

[
n = \frac{1 + m}{m^2 - 1} \quad \text{и} \quad n = \frac{1 - m}{m^2 - 1}
]

Теперь проанализируем эти два выражения. Поскольку (k) уже мы нашли, нам нужно подставить разные значения (m) и проверить, что (n > 1).

Для (m = 2):

(n = \frac{1 + 2}{2^2 - 1} = \frac{3}{3} = 1) (не подходит, поскольку (n \leq 1)).Неподходящее решение.

Для (m = 3):

(n = \frac{1 + 3}{3^2 - 1} = \frac{4}{8} = 0.5) (не подходит).

Попробуем подставлять простые числа:

На минимальные значения (n = 2):

[
\frac{2\cdot 2 + 1}{2^2} = \frac{5}{4} \text{(не целое)}
]

(n = 3):

[
\frac{2\cdot 3 + 1}{3^2} = \frac{7}{9} \text{(не целое)}
]

(n = 4):

[
\frac{2\cdot 4 + 1}{4^2} = \frac{9}{16} \text{(не целое)}
]

(n = 5):

[
\frac{2\cdot 5 + 1}{5^2} = \frac{11}{25} \text{(не целое)}
]

В конце концов, можно заметить, что если (n) было 3 и пробовал все такие (m) или (k) в числе больше 1, такие (n) могут дать решение лишь:

(n = 1).

Таким образом, мы имеем решения целых чисел (n > 1) — не существуют.