Для решения задачи, давайте воспользуемся свойствами ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника.

Обозначим точки:

$O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.$AB=10$.Угол $ABO=30^{\circ }$.

Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом $тоесть(\angle AOB=90^{\circ })$, мы можем использовать тригонометрию.

В треугольнике $ABO$:

$AO$ — половина диагонали $AC$.$BO$ — половина диагонали $BD$.

Так как $AB$ является стороной ромба, по определению, у нас есть:

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}$$

Обозначим длины половин диагоналей следующим образом:

$AO=x$$BO=y$

Тогда:

$$10=\sqrt{x^2+y^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Также мы можем выразить $x$ и $y$ через угол $ABO$. В треугольнике $ABO$:

$$\sin (30^{\circ })=\frac{BO}{AB}=\frac{y}{10}⟹y=10\cdot \sin (30^{\circ })=10\cdot 0.5=5$$

$$\cos (30^{\circ })=\frac{AO}{AB}=\frac{x}{10}⟹x=10\cdot \cos (30^{\circ })=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$$

Теперь подставим значения $x$ и $y$ в уравнение $1$:

$$10=\sqrt{(5\sqrt{3}{)}^2+5^2}$$

Посчитаем:

$$(5\sqrt{3}{)}^2+5^2=75+25=100$$

Поэтому:

$$10=\sqrt{100}=10$$

Теперь находим длину диагонали $AC$:

$$AC=2\cdot AO=2x=2\cdot 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$$

Таким образом, длина диагонали $AC$ равна $10\sqrt{3}$.