Вершины треугольника ABC Дана координаты вершин треугольника ABC. Записать 1) длину стороны AB 2) уравнение высоты CD опущенной из вершины C на сторону AB 3) уравнение медианы AE 4) уравнение окружности для которой медиана AE служит диаметром A (-4; 8) B (8; -1) C (12; 21)
Вершины треугольника ABC Дана координаты вершин треугольника ABC. Записать 1) длину стороны AB 2) уравнение высоты CD опущенной из вершины C на сторону AB 3) уравнение медианы AE 4) уравнение окружности для которой медиана AE служит диаметром A (-4; 8) B (8; -1) C (12; 21)
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для решения задачи давайте поочередно найдем необходимые элементы:
1) Длина стороны AB
Сначала найдём координаты вершин:
A−4,8-4, 8−4,8B8,−18, -18,−1Длину отрезка AB можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2 d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
d=(x2 −x1 )2+(y2 −y1 )2 Подставим координаты точек A и B:
AB=(8−(−4))2+(−1−8)2=(8+4)2+(−1−8)2=122+(−9)2 AB = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (-1 - 8)^2} = \sqrt{(8 + 4)^2 + (-1 - 8)^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2}
AB=(8−(−4))2+(−1−8)2 =(8+4)2+(−1−8)2 =122+(−9)2 AB=144+81=225=15 AB = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15
AB=144+81 =225 =15
2) Уравнение высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB
Сначала найдем уравнение прямой AB. Для этого используем координаты A и B. Угловой коэффициент прямой AB:
k=y2−y1x2−x1=−1−88−(−4)=−912=−34 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 8}{8 - (-4)} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}
k=x2 −x1 y2 −y1 =8−(−4)−1−8 =12−9 =−43 Уравнение прямой в форме y−y1=k(x−x<em>1) y - y_1 = k(x - x<em>1) y−y1 =k(x−x<em>1):
y−8=−34(x+4) y - 8 = -\frac{3}{4}(x + 4)
y−8=−43 (x+4) Распишем это уравнение:
y−8=−34x−3 ⟹ y=−34x+5 y - 8 = -\frac{3}{4}x - 3 \implies y = -\frac{3}{4}x + 5
y−8=−43 x−3⟹y=−43 x+5 Теперь находим перпендикулярное уравнение высоты CD, которое имеет угловой коэффициент, равный отрицательному обратному угловому коэффициенту AB:
k</em>CD=43 k</em>{CD} = \frac{4}{3}
k</em>CD=34 Используем координаты точки C12,2112, 2112,21:
y−21=43(x−12) y - 21 = \frac{4}{3}(x - 12)
y−21=34 (x−12) Распишем это уравнение:
y−21=43x−16 ⟹ y=43x+5 y - 21 = \frac{4}{3}x - 16 \implies y = \frac{4}{3}x + 5
y−21=34 x−16⟹y=34 x+5
3) Уравнение медианы AE
Сначала найдем координаты середины стороны BC. Для этого воспользуемся средними значениями координат:
Координаты C 12,2112, 2112,21Координаты B 8,−18, -18,−1Середина E:
E(8+122,−1+212)=E(10,10) E\left( \frac{8 + 12}{2}, \frac{-1 + 21}{2} \right) = E\left( 10, 10 \right)
E(28+12 ,2−1+21 )=E(10,10)
Теперь находим уравнение прямой AE. Угловой коэффициент:
kAE=yE−yAxE−xA=10−810−(−4)=214=17 k_{AE} = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} = \frac{10 - 8}{10 - (-4)} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}
kAE =xE −xA yE −yA =10−(−4)10−8 =142 =71 Уравнение прямой AE будет:
y−8=17(x+4) y - 8 = \frac{1}{7}(x + 4)
y−8=71 (x+4) Распишем:
y−8=17x+47 ⟹ y=17x+607 y - 8 = \frac{1}{7}x + \frac{4}{7} \implies y = \frac{1}{7}x + \frac{60}{7}
y−8=71 x+74 ⟹y=71 x+760
4) Уравнение окружности, для которой медиана AE является диаметром
Центр окружности будет находиться в середине отрезка AE, который мы уже нашли ранее. Координаты центра O:
O(−4+102,8+102)=O(3,9) O\left( \frac{-4 + 10}{2}, \frac{8 + 10}{2} \right) = O\left( 3, 9 \right)
O(2−4+10 ,28+10 )=O(3,9) Далее находим радиус:
Длина медианы AE уже имеется:
AE=(10−(−4))2+(10−8)2=(14)2+(2)2=196+4=200=102 AE = \sqrt{(10 - (-4))^2 + (10 - 8)^2} = \sqrt{(14)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
AE=(10−(−4))2+(10−8)2 =(14)2+(2)2 =196+4 =200 =102 Радиус окружности равен половине длины медианы:
R=1022=52 R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
R=2102 =52 Уравнение окружности:
(x−3)2+(y−9)2=(52)2=50 (x - 3)^2 + (y - 9)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50
(x−3)2+(y−9)2=(52 )2=50
Итак: 1) Длина стороны AB: 15 15 15 2) Уравнение высоты CD: y=43x+5 y = \frac{4}{3}x + 5 y=34 x+5 3) Уравнение медианы AE: y=17x+607 y = \frac{1}{7}x + \frac{60}{7} y=71 x+760 4) Уравнение окружности: (x−3)2+(y−9)2=50 (x - 3)^2 + (y - 9)^2 = 50 (x−3)2+(y−9)2=50