Давайте разберёмся с уравнением параболы, которое у вас есть:

[ y = 2(x - 3)^2 - 8. ]

Это уравнение записано в канонической (вершинной) форме, которая выглядит так:

[ y = a(x - h)^2 + k, ]

где ((h, k)) — координаты вершины параболы, и (a) — коэффициент, определяющий "ширину" и направление (вверх/вниз) параболы.

В вашем случае:

(a = 2) (парабола открывается вверх, так как (a > 0)),(h = 3) (сдвиг по оси x),(k = -8) (сдвиг по оси y).

Таким образом, вершина данной параболы находится в точке ((3, -8)).

Теперь про сдвиги:

Сдвиг по оси x: Парабола сдвинута вправо на 3 единицы. Это происходит потому, что (h = 3) в выражении (x - h) означает, что мы берём значение (3) и сдвигаем параболу вправо.

Сдвиг по оси y: Парабола сдвинута вниз на 8 единиц, потому что (k = -8) указывает на то, что вершина находится ниже оси x на 8 единиц.

Теперь о раскрывании скобок. Если вы раскроете ваше уравнение:

[ y = 2(x - 3)^2 - 8, ]

то сначала раскроем квадрат:

[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9, ]

Теперь подставим это в уравнение:

[ y = 2(x^2 - 6x + 9) - 8. ]

Раскроем скобки:

[ y = 2x^2 - 12x + 18 - 8. ]

Упрощаем:

[ y = 2x^2 - 12x + 10. ]

Здесь наблюдаются значения, но они не указывают на координаты вершины. Чтобы определить координаты вершины через стандартную форму (квадратное уравнение), вам нужно использовать формулу:

coordinate x of the vertex is ( x = -\frac{b}{2a} )

где (b = -12) и (a = 2):

[ x = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3. ]

А для координаты y, подставляем (x = 3) обратно в расширенное уравнение:

[ y = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 2(9) - 36 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8. ]

Таким образом, вы пришли к той же самой вершине ((3, -8)).

Итак, значения -3 и -8 в вашем уравнении определяют сдвиги параболы, а раскрытие квадратного выражения к стандартной форме не указывает на вершину, а лишь представляет уравнение, которое можно использовать для некоторых других расчетов.