Давайте разберемся с вашими вопросами по очереди.

1. Почему при ( x^2 > 16 ) получаем ( |x| > 4 )?

Сначала определим, что неравенство ( x^2 > 16 ) подразумевает, что квадрат числа $x$ больше 16. Если мы возьмем корень из обеих сторон, мы получим:

[ |x| > \sqrt{16} ]

Поскольку корень из 16 равен 4, это преобразуется в:

[ |x| > 4 ]

Модуль $|x|$ используется здесь, потому что он учитывает как положительные, так и отрицательные значения $x$. То есть:

Если ( x > 4 ), то $|x|=x$Если ( x < -4 ), то $|x|=-x$ $что,вчастности,означает,что(x)меньше0$

Таким образом, если ( |x| > 4 ), это означает, что ( x > 4 ) или ( x < -4 ).

1.1. Справедливо ли это для каждой четной степени?

Да, это справедливо для любого четного показателя. Если у вас есть неравенство вида ( x^{2n} > a ) (где ( n ) — целое положительное число и ( a > 0 )), то вы можете вывести:

[ |x| > \sqrt[2n]{a} ]

что также можно интерпретировать как:

[ x > \sqrt[2n]{a} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt[2n]{a} ]

2. Почему ( x > ±4 ) раскрывается как ( x > 4 ) и ( x < -4 )?

Вы правы, что при равенстве с модулем ( |x| > 4 ) мы получаем два неравенства: ( x > 4 ) и ( x < -4 ).

Однако, когда вы видите неравенство ( x > ±4 ), это значит, что $x$ должно быть больше 4 или меньше -4 $какэтоиестьсмодулем$. То есть ( x > 4 ) или ( x < -4 ).

2.1. Как раскрывается модуль?

При раскрытии модуля, важно помнить, что:

Если ( |x| < a ), то это означает, что ( -a < x < a ).Если ( |x| > a ), то это означает, что ( x > a ) или ( x < -a ).

Например, для ( |x| < 4 ) мы пишем:

[ -4 < x < 4 ]

Для ( |x| > 4 ):

[ x > 4 \quad \text{или} \quad x < -4 ]

Таким образом, правила для раскрытия модуля всегда будут оставаться постоянными, основываясь на определении модуля, который учитывает как положительные, так и отрицательные значения.

Если у вас есть еще вопросы или что-то не совсем ясно, не стесняйтесь уточнить!