Давайте начнём с определения координат вершин куба ABCDA1B1C1D1 с длиной рёбер 1. Мы можем задать их следующим образом:

$A(0,0,0)$$B(1,0,0)$$C(1,1,0)$$D(0,1,0)$$A1(0,0,1)$$B1(1,0,1)$$C1(1,1,1)$$D1(0,1,1)$

Теперь найдем координаты точек $N$ и $M$.

Найдём координаты точки $N$ на рёбе $B1C1$:

Ребро $B1C1$ имеет координаты:

$B1(1,0,1)$$C1(1,1,1)$

Соотношение $B1N:NC1=1:4$ означает, что $N$ делит отрезок $B1C1$ в соотношении $1:4$. Это значит, что $N$ находится на $\frac{1}{5}$ от длины отрезка от $B1$ к $C1$.

Так как вектор $C1-B1=(0,1,0)$ и длина отрезка равна 1, можно найти $N$:

$$N=B1+\frac{1}{5}(C1-B1)=(1,0,1)+\frac{1}{5}(0,1,0)=(1,\frac{1}{5},1).$$

Теперь найдём координаты точки $M$ на рёбе $C1D1$:

Ребро $C1D1$ имеет координаты:

$C1(1,1,1)$$D1(0,1,1)$

Соотношение $C1M:MD1=1:3$ означает, что $M$ делит отрезок $C1D1$ в соотношении $1:3$. Это значит, что $M$ находится на $\frac{1}{4}$ от длины отрезка от $C1$ к $D1$.

Так как вектор $D1-C1=(-1,0,0)$, можно найти координаты $M$:

$$M=C1+\frac{1}{4}(D1-C1)=(1,1,1)+\frac{1}{4}(-1,0,0)=\left(1-\frac{1}{4},1,1\right)=\left(\frac{3}{4},1,1\right).$$

Теперь нам нужно найти векторы $BN$ и $CM$.

Вектор $BN$:

$$BN=N-B=\left(1,\frac{1}{5},1\right)-(1,0,0)=\left(0,\frac{1}{5},1\right).$$

Вектор $CM$:

$$CM=M-C=\left(\frac{3}{4},1,1\right)-(1,1,0)=\left(-\frac{1}{4},0,1\right).$$

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами $BN$ и $CM$, используя формулу:

$$\cos \alpha =\frac{BN\cdot CM}{|BN||CM|}.$$

Скалярное произведение:

$$BN\cdot CM=(0)\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}\right)\cdot 0+1\cdot 1=1.$$

Длина векторов:

$$|BN|=\sqrt{0^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+1^2}=\sqrt{0+\frac{1}{25}+1}=\sqrt{\frac{26}{25}}=\frac{\sqrt{26}}{5},$$

$$|CM|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+0^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{16}+1}=\sqrt{\frac{17}{16}}=\frac{\sqrt{17}}{4}.$$

Теперь подставим в формулу косинуса:

$$\cos \alpha =\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right)}=\frac{20}{\sqrt{442}}.$$

Таким образом, мы можем представить ответ в виде:

$$\cos \alpha =\frac{20}{\sqrt{442}}.$$