Давайте сначала определим координаты вершин квадрата:

Теперь, чтобы найти координаты точек пересечения диагоналей, нам нужно найти уравнения этих диагоналей.

Диагонали квадрата — это отрезки AC и BD.

Нахождение уравнения диагонали AC:

Вершины A и C имеют координаты A$2,3$ и C$8,7$.

У slope $наклона$ этой диагонали:

$$m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{7-3}{8-2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Уравнение прямой можно записать в виде $y-y_1=m(x-x_1)$:

$$y-3=\frac{2}{3}(x-2)$$

Преобразуем это уравнение:

$$y-3=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$$ $$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Нахождение уравнения диагонали BD:

Вершины B и D имеют координаты B$8,3$ и D$2,7$.

Рассчитаем наклон:

$$m_{BD}=\frac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\frac{7-3}{2-8}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$$

Уравнение прямой:

$$y-3=-\frac{2}{3}(x-8)$$

Преобразуем это уравнение:

$$y-3=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}$$ $$y=-\frac{2}{3}x+\frac{25}{3}$$

Теперь у нас есть два уравнения:

Теперь мы можем найти точку пересечения этих двух диагоналей, приравняв их:

$$\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}x+\frac{25}{3}$$

Умножим все на 3, чтобы избавиться от дробей:

$$2x+5=-2x+25$$

Решим это уравнение:

$$2x+2x=25-5$$ $$4x=20$$ $$x=5$$

Теперь подставим найденное значение x обратно в одно из уравнений, чтобы найти y:

$$y=\frac{2}{3}(5)+\frac{5}{3}=\frac{10}{3}+\frac{5}{3}=\frac{15}{3}=5$$

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей квадрата ABCD равны $5,5$.