Сокращение дробей – это процесс упрощения произведения дробей, при котором можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Рассмотрим данный пример:

[
\frac{4}{15} \times \frac{30}{49} \times \frac{7}{8}
]

Сначала запишем все дроби в одном произведении:

[
\frac{4 \times 30 \times 7}{15 \times 49 \times 8}
]

Теперь вычислим числитель и знаменатель по частям:

Числитель:

[
4 \times 30 \times 7 = 840
]

Знаменатель:

[
15 \times 49 \times 8 = 5880
]

Теперь дробь выглядит так:

[
\frac{840}{5880}
]

Сократим дробь:

Чтобы сократить дробь, мы можем найти наибольший общий делитель (НОД) 840 и 5880. Однако можно сделать это проще, сократив множители на этапе произведения:

Разложим все числа на простые множители:
( 4 = 2^2 )( 15 = 3 \times 5 )( 30 = 2 \times 3 \times 5 )( 49 = 7^2 )( 7 = 7^1 )( 8 = 2^3 )

Теперь мы можем записать:
[
\frac{4 \times 30 \times 7}{15 \times 49 \times 8} = \frac{(2^2) \times (2 \times 3 \times 5) \times (7)}{(3 \times 5) \times (7^2) \times (2^3)}
]

Теперь сразу сократим:
( 2^2 ) в числителе и ( 2^3 ) в знаменателе: (\frac{2^2}{2^3} = \frac{1}{2})( 3 ) в числителе и знаменателе: (\frac{3}{3} = 1)( 5 ) в числителе и знаменателе: (\frac{5}{5} = 1)( 7 ) в числителе и одну ( 7^1 ) в знаменателе: (\frac{7}{7^2} = \frac{1}{7})

Таким образом, остается:
[
\frac{1}{2 \times 7} = \frac{1}{14}
]

Ответ:

[
\frac{4}{15} \times \frac{30}{49} \times \frac{7}{8} = \frac{1}{14}
]