Для нахождения длины окружности, вписанной в ромб, сначала найдем его площадь и периметр.

Нахождение площади ромба: Площадь ромба можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]
где (d_1) и (d_2) - длины диагоналей. В нашем случае:
[
S = \frac{30 \, \text{см} \cdot 40 \, \text{см}}{2} = 600 \, \text{см}^2.
]

Нахождение периметра ромба: Для нахождения периметра ромба сначала определим длину стороны ромба. Сторона ромба равна половине длины диагонали, с использованием теоремы Пифагора:
[
a = \sqrt{\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{30}{2} \right)^2 + \left( \frac{40}{2} \right)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см}.
]
Периметр ромба:
[
P = 4a = 4 \times 25 \, \text{см} = 100 \, \text{см}.
]

Нахождение радиуса вписанной окружности: Радиус (r) вписанной окружности можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{P} = \frac{600 \, \text{см}^2}{100 \, \text{см}} = 6 \, \text{см}.
]

Длина окружности: Длина окружности (L) равна:
[
L = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 \, \text{см} = 12\pi \, \text{см} \approx 37.7 \, \text{см}.
]

Итак, длина окружности, вписанной в ромб, составляет (12\pi) см или примерно (37.7) см.