Чтобы доказать, что две прямые в пространстве (или на плоскости) параллельны, можно воспользоваться несколькими подходами. Вот некоторые из наиболее распространенных способов:

Проверка направляющих векторов:
Если у вас есть уравнения двух прямых в векторной форме, то можно сравнить их направляющие векторы. Прямые ( \mathbf{l_1} ) и ( \mathbf{l_2} ) описываются уравнениями:
[
\mathbf{l_1}: \mathbf{r} = \mathbf{a} + t \mathbf{b}
]
[
\mathbf{l_2}: \mathbf{r} = \mathbf{c} + s \mathbf{d}
]
Если направляющие векторы ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{d} ) пропорциональны, то есть существует скаляр ( k ) такой, что ( \mathbf{b} = k \mathbf{d} ), то прямые параллельны. Это происходит, потому что пропорциональные векторы имеют одинаковое направление.

Проверка углов наклона:
Если вы можете взять угол наклона обеих прямых и показать, что углы равны, то прямые также будут параллельны. Для прямых в координатной плоскости, на основании уравнений вида ( y = mx + b ), угловые коэффициенты ( m_1 ) и ( m_2 ) должны быть равны.

Сравнение расстояний:
Если прямая ( l_1 ) является пересекающей линией к каждому отрезку, соединяющему любые две точки на прямой ( l_2 ), и это расстояние фиксировано, то это также может подтвердить параллельность.

Координатный метод:
Если у вас есть координаты точек, лежащих на каждой из прямых, вы можете найти векторы, соединяющие эти точки, и показать, что угол между векторами равен 0. Это также может быть выполнено через скалярное произведение.

Использование свойств углов:
Если две прямые пересекают третью прямую и углы между ними равны, то, по теореме о пересекающих прямых (теорема о внутренних и внешних углах), данные прямые будут параллельны.

Использование любого из указанных методов позволит вам доказать, что две прямые в пространстве или на плоскости являются параллельными.