Чтобы доказать, что ( a^2 - 1 ) делится на 6 для нечетного числа ( a ), сначала запишем ( a ) в виде:

[
a = 2k + 1
]

где ( k ) - целое число. Теперь найдем ( a^2 ):

[
a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
]

Теперь вычислим ( a^2 - 1 ):

[
a^2 - 1 = (4k(k + 1) + 1) - 1 = 4k(k + 1)
]

Теперь нужно проверить, делится ли ( 4k(k + 1) ) на 6. Для этого, мы заметим, что произведение ( k(k + 1) ) всегда содержит два последовательных целых числа, одно из которых всегда четное, а с другим, в зависимости от значения ( k ), будет выполняться условие делимости на 3.

Рассмотрим два случая:

Если ( k ) четное: ( k = 2m ) для некоторого ( m ), тогда ( k(k + 1) = 2m(2m + 1) ) - четное число, а ( 2m + 1 ) - нечетное число. Их произведение ( k(k + 1) ) делится на 2, и так как мы умножаем на 4, это делится на 4.

Если ( k ) нечетное: ( k = 2m + 1 ) для некоторого ( m ), тогда ( k(k + 1) = (2m + 1)(2m + 2) ). Здесь одно из чисел ( k ) или ( k + 1 ) делится на 2, и также одно из них будет делиться на 3 (так как среди любых трех последовательных чисел одно из них всегда делится на 3).

Таким образом, ( k(k + 1) ) делится на 3.

Следовательно, в обоих случаях ( 4k(k + 1) ) делится на 6. В итоге:

[
a^2 - 1 \equiv 0 \,(\text{mod}\, 6)
]

Таким образом, мы доказали, что если ( a ) - нечетное число, то ( a^2 - 1 ) делится на 6.