В данной задаче есть несколько известных величин: высота ( h = 4 ), радиус описанной окружности ( R = 5 ), и отношение сторон ( \frac{a}{b} = \frac{1}{4} ), где ( a ) и ( b ) — это длины сторон ( AC ) и ( AB ) треугольника ( ABC ) соответственно.

Обозначим длины сторон:
[ a = AC, \quad b = AB, \quad c = BC. ]
С учетом отношения сторон:
[ a = 4k, \quad b = k, ]
где ( k ) — некоторое положительное число.

Площадь треугольника можно выразить через высоту:
[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 4 = 2k. ]

Площадь треугольника также можно выразить через радиус описанной окружности ( R ):
[ S = \frac{abc}{4R}. ]

Подставим ( a = 4k ), ( b = k ) и обозначим ( c ) как просто ( c ):
[
S = \frac{(4k) \cdot k \cdot c}{4 \cdot 5} = \frac{4k^2c}{20} = \frac{k^2c}{5}.
]

Приравняем оба выражения для площади ( S ):
[
2k = \frac{k^2c}{5}.
]
Умножим обе стороны на 5:
[
10k = k^2c.
]
Если ( k \neq 0 ), делим обе стороны на ( k ):
[
10 = kc.
]
Таким образом,
[
c = \frac{10}{k}.
]

Теперь нам следует проверить, можем ли мы найти ( k ) через радиус окружности и свойства радиус-высота.

Напомню о формуле для радиуса описанной окружности треугольника:
[
R = \frac{abc}{4S}.
]
Подставляем выражения для ( a ), ( b ), ( c ) и ( S ):
[
5 = \frac{(4k) \cdot k \cdot \frac{10}{k}}{4 \cdot 2k}.
]

Упрощаем:
[
5 = \frac{40k}{8k} = 5.
]

Это равенство верно для любого ( k ), что подтверждает, что все данные корректны и целостны.

Теперь можем подставить найденное значение ( c ) в выражение:
[
c = \frac{10}{k} \Rightarrow a + b + c = 4k + k + \frac{10}{k}.
]

Чтобы найти ( k ), воспользуемся тем, что:
[
S = \frac{abc}{4R} = \frac{(4k)(k)(\frac{10}{k})}{20} = 2k.
]

Так как у нас нет конкретного значения по ( k ) в данной задаче, результат ( c ) также не будет иметь конкретного значения без дальнейших условий, в том числе нахождения ( k ).

При любом ( k ) соотношение устойчиво. Например, если бы ( k = 1 ), тогда ( a = 4 ), ( b = 1 ), ( c = 10 ).

Таким образом, стороны в соотношениях могут быть заданы в зависимости от ( k ), но для конкретного числового значения необходима дополнительная информация.

Однако можно подставить в существующие уравнения, имея хотя бы одно невыполнимое значение, чтобы закончить расчет.