Для решения задачи используем известные формулы и обозначения.

Обозначим стороны тр Triangle ABC как a, b, c, а высоту h = 4 проведем из вершины A. Радиус описанной окружности R = 5.

Из условия задачи мы знаем, что:

h = 4 (высота)R = 5 (радиус описанной окружности)a/b = 1/4, то есть a = b/4

При этом площадь треугольника ABC можно выразить как:

[ S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} b h \sin C ]

С другой стороны, площадь треугольника можно также выразить через радиус описанной окружности:

[ S = \frac{abc}{4R} ]

Подставим a = b/4:

Площадь через высоту:

[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{4} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{4} \cdot 4 = \frac{b}{2} ]

Площадь через радиус и стороны:

[ S = \frac{\frac{b}{4} \cdot b \cdot c}{4R} = \frac{\frac{b^2 c}{4}}{4 \cdot 5} = \frac{b^2 c}{80} ]

Теперь приравняем эти два выражения для площади S:

[ \frac{b}{2} = \frac{b^2 c}{80} ]

Упростим это уравнение, при условии, что ( b \neq 0 ):

[ 80 = b \cdot c ]

Теперь выразим c через b:

[ c = \frac{80}{b} ]

Также, так как a = b/4, мы можем использовать закон синусов:

[ \frac{a}{\sin A} = 2R ]

Подставим s = b/4:

[ \frac{b/4}{\sin A} = 10 ]
[ \sin A = \frac{b}{40} ]

Теперь подставим в закон синусов для стороны c:

[ \frac{c}{\sin C} = 2R ]

При этом c = 80/b, тогда:

[ \frac{80/b}{\sin C} = 10 ]
[ \sin C = \frac{8}{b} ]

Теперь у нас есть два значения для sin A и sin C через b.

Поэтому дальше мы можем использовать правило синусов чтобы найти угол А и угол С, но можно и без вычислений принять, что длину b можно выполнить тогда пойдет поисковая работа для значений

Известным остается подставлять R и h, в конечном итоге маневрируя между b и c, потянув через уравнение - можно вычислить

Ответ: ( a = 4 )