В треугольнике ABC угол B прямой, значит, мы можем воспользоваться соотношениями между сторонами и углами. Поскольку (\angle B = 90^\circ), выполняется теорема Пифагора и соотношения между тригонометрическими функциями.

Дано, что (\cos A = \frac{3\sqrt{39}}{20}).

Сначала воспользуемся основной тригонометрической идентичностью:

[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]

Подставляем значение (\cos A):

[
\sin^2 A + \left(\frac{3\sqrt{39}}{20}\right)^2 = 1
]

Вычисляем (\left(\frac{3\sqrt{39}}{20}\right)^2):

[
\left(\frac{3\sqrt{39}}{20}\right)^2 = \frac{9 \cdot 39}{400} = \frac{351}{400}
]

Теперь подставляем это значение в уравнение:

[
\sin^2 A + \frac{351}{400} = 1
]

Переносим (\frac{351}{400}) на правую сторону:

[
\sin^2 A = 1 - \frac{351}{400} = \frac{400}{400} - \frac{351}{400} = \frac{49}{400}
]

Теперь находим (\sin A):

[
\sin A = \sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{7}{20}
]

Так как угол (A) в прямоугольном треугольнике всегда положителен, мы можем записать:

[
\sin A = \frac{7}{20}
]

Ответ: (\sin A = \frac{7}{20}).