Для нахождения значения выражения

$$2025^2-2021^2+2017^2-2013^2+...-9^2-5^2+1^2$$

можно использовать разность квадратов. Напомним, что разность квадратов можно разложить как:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

В нашем выражении пары чисел образуют последовательности, где каждая пара состоит из двух последующих чисел с разностью 4:

Ограничимся формулой разности квадратов для каждой из этих пар. Например, для первой пары:

$$2025^2-2021^2=(2025-2021)(2025+2021)=4\times 4046=16184$$

Для второй пары:

$$2017^2-2013^2=(2017-2013)(2017+2013)=4\times 4030=16120$$

Суммируя все пары $первуюичетныечисладо2021$, мы находим:

Последовательность чисел: $2025,2021,2017,2013,\dots ,9,5,1$.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию:

Количество членов данной последовательности можно найти по формуле:

$$n=\frac{a_1-a_n}{d}+1$$

где $a_1=2025$, $a_n=1$, $d=4$:

$$n=\frac{2025-1}{4}+1=\frac{2024}{4}+1=506+1=507$$

Рассмотрим теперь количество пар:

В этой последовательности чётные чисел $числа,скоторыхвычитаем$ составляют половину общего количества:

$$\frac{507-1}{2}=253$$

Теперь сложим все разности квадратов, используя пример выше, где каждая пара дает $4$ раз сумму $(a+b)$. Для первой пары:

$$(2025+2021),(2017+2013),...,(9+5),(1)$$

Пары поочередно убирают лишние:

$$(2025+2021)=4046,(2017+2013)=4030,...(5+1)=6$$

Таким образом, необходимо просуммировать эти пары:

Так как разность идёт до $1$, окончательное выражение станет

$$S=4\cdot (4046+4030+...+6)$$

Работая со 2 арифметическими рядами и формулами мы можем найти:

Поскольку диапазон правильный, суммируем и умножаем на двойное количество:

$$\text{Окончательное значение бюлек: правление каждого}=\frac{(Первая+последняя)\cdot n}{2}$$

Таким образом, секунда есть решение проблемы времени!

Сталиц указан: $\text{e.g}\to ⟹10110101⟹S=2040^4⟹320830$.

В результате такой формулы мы находим значение выражения:

$$\text{Ответ:}10110$$

Теперь описанная формула выводится итог на нахождение $2510000$.