Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x)=(x+1{)}^2(x-3{)}^2$, которая будет параллельна прямой $y=5+12x$, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Найдем производную функции $f(x)$, поскольку производная в какой-то точке дает значение углового коэффициента касательной в этой точке.

$$f(x)=(x+1{)}^2(x-3{)}^2$$ Используем правило произведения:

$$f^{\prime }(x)=(u^{\prime }v+u{v}^{\prime }),u=(x+1{)}^2,v=(x-3{)}^2$$ Где:
$$u^{\prime }=2(x+1),v^{\prime }=2(x-3)$$

Теперь вычислим производную:

$$f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-3{)}^2+(x+1{)}^2\cdot 2(x-3)$$ $$=2(x-3)[(x+1)(x-3)+(x+1{)}^2]$$ $$=2(x-3)(x^2-2x-3+x^2+2x+1)=2(x-3)(2x^2-2)$$ $$=4(x-3)(x^2-1)=4(x-3)(x-1)(x+1)$$

Теперь мы ищем такие $x$, что угловой коэффициент $f^{\prime }(x)=12$:

$$4(x-3)(x-1)(x+1)=12$$

Разделим обе стороны на 4:

$$(x-3)(x-1)(x+1)=3$$

Решим уравнение:

$$(x-3)(x^2-1)=3$$ $$x^3-3x^2-x+3-3=0$$ $$x^3-3x^2-x=0$$ Вынесем $x$:

$$x(x^2-3x-1)=0$$

Теперь находим корни. Один из корней $x=0$, а остальные можно найти из квадратного уравнения:

$$x^2-3x-1=0$$ Используя дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=9+4=13$$ Корни:

$$x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$$

Сравним корни:

$x=0$ - целое.$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ и $x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ - нецелые.

Получим уравнение касательной в точке $x=0$:

$$f(0)=(0+1{)}^2(0-3{)}^2=1\cdot 9=9$$ Касательная: $y-9=12(x-0)$, то есть

$$y=12x+9$$

Так как уравнение $y=5+12x$ может иметь другое значение $C$ для углового коэффициента $12$, у вас могло получиться $y=12x+C$ с $2касательными$, значит, есть еще одно $x$, которое даёт целое значение.

Попробуйте проверить остальные значения $x$ параллельной касательной на целых значениях между $x=1$ до $x=2$ и так далее, чтобы найти еще одну точку касания.