Давайте упростим выражение $\frac{\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}}{\sqrt[3]{4}-\sqrt{17}+\sqrt{17}}$.

Первым делом упрощим знаменатель:
$$\sqrt[3]{4}-\sqrt{17}+\sqrt{17}=\sqrt[3]{4}$$

Теперь подставим эту упрощенную часть в данное выражение:
$$\frac{\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}}{\sqrt[3]{4}}$$

Запишем это в виде одной дроби:
$$\frac{\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{4+\sqrt{17}}{4}}=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{17}}{4}}$$

Теперь найдем значение $\frac{\sqrt{17}}{4}$:
$$\sqrt{17}\approx 4.123⟹\frac{\sqrt{17}}{4}\approx \frac{4.123}{4}\approx 1.03075$$ Таким образом,
$$1+\frac{\sqrt{17}}{4}\approx 1+1.03075=2.03075$$

Теперь вычислим значение $\sqrt[3]{2.03075}$. Для численных приближений:
$$\sqrt[3]{2}\approx 1.2599,\sqrt[3]{3}\approx 1.4422$$ Вероятно, $\sqrt[3]{2.03075}$ будет где-то между 1.2599 и 1.4422.

Для более точного вычисления, можно использовать числовой калькулятор. В итоге:
$$\sqrt[3]{2.03075}\approx 1.259$$

Таким образом, значение исходного выражения приблизительно равно 1.259.