Обозначим основание равнобедренной трапеции как $a=8$ и $b=18$, а длины боковых сторон — как $c$.

Для нахождения периметра равнобедренной трапеции используем формулу:

$$P=a+b+2c$$

Так как периметр равен 56, подставим известные значения:

$$56=8+18+2c$$

Упростим уравнение:

$$56=26+2c$$

Переносим 26 влево:

$$56-26=2c$$

$$30=2c⟹c=15$$

Теперь, зная длины оснований и боковых сторон, найдем высоту трапеции. Для этого воспользуемся высотой, проведенной из вершин оснований $a$ и $b$ к основанию $a$. Обозначим высоту как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой $h$, и отрезком, который соединяет середины оснований. Обозначим полупериметр $p$:

$$p=\frac{a+b}{2}=\frac{8+18}{2}=13$$

Теперь, так как $a=8$ и $b=18$, длина отрезка между проекциями боковых сторон на основание $a$ равна:

$$d=\frac{b-a}{2}=\frac{18-8}{2}=5$$

Теперь можем использовать теорему Пифагора:

$$c^2=d^2+h^2$$

Подставим известные величины:

$$15^2=5^2+h^2$$

$$225=25+h^2$$

$$h^2=225-25=200$$

$$h=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

Теперь можем найти площадь трапеции $S$:

$$S=\frac{(a+b)}{2}\cdot h$$

Подставим значения:

$$S=\frac{(8+18)}{2}\cdot 10\sqrt{2}=\frac{26}{2}\cdot 10\sqrt{2}=13\cdot 10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна $130\sqrt{2}$.