Для нахождения площади треугольника ( \triangle MNK ), можно воспользоваться формулой площади через основание и высоту:

[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,
]

где ( a ) — основание, а ( h ) — высота.

В данном случае основание ( MK ) равняется ( MQ + QK = 3\, \text{мм} + 6\, \text{мм} = 9\, \text{мм} ). Высота ( h ) — это длина отрезка ( NQ ).

Для нахождения высоты ( NQ ) нам нужно использовать информацию о угле ( \angle M ). Поскольку угол ( M = 45^\circ ), мы можем воспользоваться свойствами треугольников.

В треугольнике ( MNQ ), где ( \angle M = 45^\circ ):

Мы знаем, что:

[
\tan(45^\circ) = 1 = \frac{NQ}{MQ}.
]

Таким образом, ( NQ = MQ ):

[
NQ = 3 \, \text{мм}.
]

Теперь можем вычислить площадь треугольника:

[
S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{мм} \cdot 3 \, \text{мм} = \frac{1}{2} \cdot 27 \, \text{мм}^2 = 13.5 \, \text{мм}^2.
]

Итак, площадь треугольника ( MNK ) равна ( 13.5 \, \text{мм}^2 ).