Давайте разберем задачу. Точки A и B делят окружность на дуги, которые пропорциональны числам 6 и 9. Это означает, что вся окружность делится на 6x + 9x = 15x, где x — некоторый множитель.

Дуги AB составляют:

Дуга AB, соответствующая углу при центре O, равна ( \frac{6}{15} \cdot 360^\circ = 144^\circ ).Дуга BA, соответствующая углу при центре O, равна ( \frac{9}{15} \cdot 360^\circ = 216^\circ ).

Теперь, если через точку A провести диаметр AC, у нас будет:

Угол AOB, который равен 144°.Угол ABC, как угловая величина, будет равен половине угла AOB, так как угол при вершине окружности равен половине угла при центре:

[
\angle ABC = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ.
]

Теперь найдем угол АСB. Мы знаем, что угол ABC, угол ACB и угол AAB в треугольнике ABC должны в сумме составлять 180°. Радиус окружности при диаметрическом угле AСB будет равен 90°.

Таким образом, угол ACB будет равен:

[
\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - 90^\circ = 180^\circ - 72^\circ - 90^\circ = 18^\circ.
]

Теперь мы можем найти угол CAB:

[
\angle CAB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 72^\circ - 18^\circ = 90^\circ.
]

Итак, углы треугольника ABC имеют следующие величины:

Угол CAB = 90°Угол ABC = 72°Угол ACB = 18°

Таким образом, ответ на вопрос: углы треугольника ABC имеют градусные меры 90°, 72° и 18°.