Чтобы решить уравнение ( 13[x] = 29{x} ), где ([x]) — целая часть числа (x), а ({x}) — дробная часть числа (x), можно воспользоваться следующими обозначениями:

Обозначим целую часть числа (x) как (n = [x]), где (n) — целое число.Обозначим дробную часть числа (x) как (f = {x}), где (f) находится в интервале (0 \leq f < 1).

Таким образом, можно записать число (x) в следующем виде:
[
x = n + f.
]

Подставив ([x]) и ({x}) в исходное уравнение, мы получаем:
[
13n = 29f.
]
Перепишем это уравнение, выразив дробную часть (f):
[
f = \frac{13n}{29}.
]

Поскольку (f) — дробная часть, то она должна удовлетворять условию:
[
0 \leq f < 1.
]
Это неравенство даёт нам два условия для (n):

(0 \leq \frac{13n}{29}), что всегда верно для (n \geq 0).(\frac{13n}{29} < 1), что приводит к неравенству:
[
13n < 29 \implies n < \frac{29}{13} \approx 2.23.
]
Поскольку (n) — целое число, то возможны следующие значения для (n): (n = 0, 1, 2).

Теперь найдём соответствующие значения дробной части (f) для каждого значения (n):

Если (n = 0):
[
f = \frac{13 \cdot 0}{29} = 0 \implies x = 0 + 0 = 0.
]

Если (n = 1):
[
f = \frac{13 \cdot 1}{29} = \frac{13}{29} \implies x = 1 + \frac{13}{29} = \frac{29 + 13}{29} = \frac{42}{29}.
]

Если (n = 2):
[
f = \frac{13 \cdot 2}{29} = \frac{26}{29} \implies x = 2 + \frac{26}{29} = \frac{58 + 26}{29} = \frac{84}{29}.
]

Следовательно, все действительные (x), удовлетворяющие уравнению (13[x] = 29{x}):

(x = 0),(x = \frac{42}{29}),(x = \frac{84}{29}).