Обозначим скорость работы насоса A как ( A ), насоса B как ( B ), а насоса C как ( C ). Тогда скорость работы насосов будем считать в единицах, которые означают часть бассейна, заполненного за 1 минуту.

Из условий задачи имеем следующие уравнения:

Насосы A и B вместе заполняют бассейн за 9 минут:
[
A + B = \frac{1}{9}
]

Насосы B и C вместе заполняют бассейн за 14 минут:
[
B + C = \frac{1}{14}
]

Насосы A и C вместе заполняют бассейн за 18 минут:
[
A + C = \frac{1}{18}
]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

[
\begin{align}
A + B &= \frac{1}{9} \quad (1) \
B + C &= \frac{1}{14} \quad (2) \
A + C &= \frac{1}{18} \quad (3)
\end{align}
]

Чтобы найти общую скорость ( A + B + C ), сложим все три уравнения:

[
(A + B) + (B + C) + (A + C) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}
]

Это можно переписать как:

[
2A + 2B + 2C = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}
]

Теперь найдем общее выражение для правой части уравнения. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 9, 14 и 18. НОК(9, 14, 18) = 126.

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

[
\frac{1}{9} = \frac{14}{126}, \quad \frac{1}{14} = \frac{9}{126}, \quad \frac{1}{18} = \frac{7}{126}
]

Теперь складываем:

[
\frac{14}{126} + \frac{9}{126} + \frac{7}{126} = \frac{14 + 9 + 7}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}
]

Следовательно, у нас есть:

[
2(A + B + C) = \frac{5}{21} \quad \Rightarrow \quad A + B + C = \frac{5}{42}
]

Теперь, чтобы найти время, за которое три насоса заполнит бассейн вместе, мы находим обратное значение ( A + B + C ):

[
\text{Время} = \frac{1}{A + B + C} = \frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8.4
]

Таким образом, три насоса вместе заполнят бассейн за 8.4 минуты.