Чтобы найти наибольшее целое значение ( a ), при котором уравнение

[
2x^2 - 3x + a |x + 1| = 5
]

имеет ровно три решения, начнем с того, что это уравнение можно разделить на два случая в зависимости от знака выражения ( |x + 1| ).

Если ( x \geq -1 ), то ( |x + 1| = x + 1 ). Уравнение примет вид:

[
2x^2 - 3x + a(x + 1) = 5
]

Перепишем его:

[
2x^2 - 3x + ax + a - 5 = 0
]

Соберем одно уравнение:

[
2x^2 + (a - 3)x + (a - 5) = 0
]

В этом случае ( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 ), и уравнение станет:

[
2x^2 - 3x + a(-x - 1) = 5
]

Что аналогично:

[
2x^2 - 3x - ax - a - 5 = 0
]

Собираем новое уравнение:

[
2x^2 + (-3 - a)x + (-a - 5) = 0
]

Теперь у нас есть два квадратных уравнения:

Для нахождения числа решений уравнения, нам нужно, чтобы одно из уравнений имело два решения, а другое - одно решение (в сумме три решения).

[
D_1 = (a - 3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a - 5) > 0
]

Решим неравенство:

[
(a - 3)^2 - 8(a - 5) > 0
]
[
(a - 3)^2 - 8a + 40 > 0
]
[
a^2 - 6a + 9 - 8a + 40 > 0
]
[
a^2 - 14a + 49 > 0
]
[
(a - 7)^2 > 0
]

Это неравенство выполняется при ( a \neq 7 ).

[
D_2 = (-3 - a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a - 5) = 0
]

Решим это уравнение:

[
(-3 - a)^2 - 8(-a - 5) = 0
]
[
(-3 - a)^2 + 8a + 40 = 0
]
[
a^2 + 6a + 49 = 0
]

Смотрим на дискриминант этого квадратного уравнения:

[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 36 - 196 = -160
]

Когда дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, единственное значение, при котором ( D_2 = 0 ) не происходит. Это находит соответствие при ( a = 7 ), которое дает общие корни, что нам не нужно.

Таким образом, чтобы найти наибольшее целое значение ( a ), при котором уравнение имеет ровно три решения:

Найдем, что ( a < 7 ). Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию:

[
\boxed{6}
]

Наглое вранье.

Ответ: a= -8

Решение писать не буду, пока Хелпер не убьется.