Для начала давайте начнем с решения задач по порядку.

А) Уравнение стороны AB

Вершины A и B имеют координаты A(-4; 0) и B(-1; 4).

Найдем наклон (угловой коэффициент) прямой AB:

[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 0}{-1 - (-4)} = \frac{4}{3}
]

Используем уравнение прямой в виде (y = kx + b).

Подставим координаты точки A в уравнение, чтобы найти b:

[
0 = \frac{4}{3}(-4) + b \implies b = \frac{16}{3}
]

Уравнение прямой AB:

[
y = \frac{4}{3}x + \frac{16}{3}
]

Б) Уравнение высоты CH

Сначала найдем координаты точки C. C(3; 1).

Найдем наклон стороны AB (который мы уже нашли), а значит, наклон высоты CH будет -1/k:

[
k_{CH} = -\frac{3}{4}
]

Теперь найдем уравнение высоты, проходящей через точку C(3; 1):

Используем уравнение прямой:

[
y - yC = k{CH}(x - x_C)
]
[
y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 3)
]

Приведем уравнение к стандартному виду:

[
y - 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4}
]
[
y = -\frac{3}{4}x + \frac{13}{4}
]

В) Уравнение медианы BM

Найдем координаты середины стороны AC (M).

Координаты точки M:

[
M\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{-4 + 3}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
]

Теперь найдем уравнение медианы, проходящей через точку B(-1; 4) и M(-0.5; 0.5).

Найдем наклон BM:

[
k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{0.5 - 4}{-0.5 - (-1)} = \frac{-3.5}{0.5} = -7
]

Теперь найдем уравнение медианы BM:

[
y - 4 = -7(x + 1)
]
[
y - 4 = -7x - 7
]
[
y = -7x - 3
]

Г) Найти расстояние от точки A до прямой AB

Расстояние от точки A до прямой можно вычислить по формуле:

[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]

Приведем уравнение прямой AB к стандартному виду (Ax + By + C = 0):

[
\frac{4}{3}x - y + \frac{16}{3} = 0 \implies 4x - 3y + 16 = 0
]

где A = 4, B = -3, C = 16, и ( (x_0, y_0) = (-4, 0) ):

[
d = \frac{|4(-4) + (-3)(0) + 16|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-16 + 16|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{0}{5} = 0
]

Таким образом, точка A лежит на прямой AB, и расстояние равно 0.

Рисунок

Чтобы построить треугольник ABC, отметим точки A(-4, 0), B(-1, 4), C(3, 1), а затем проведем линии AB, BC и AC.

Точка A -69 (x = -4, y = 0)Точка B - (-1, 4)Точка C - (3, 1)

Проведите линии между этими точками для получения треугольника. Вы также можете отметить точке M и H, а также провести высоты и медианы.