В трапеции можно вписать окружность, если сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон. Рассмотрим вашу задачу:

Обозначим основание трапеции ( a ) и ( b ) (где ( a ) — большее основание), а боковые стороны — ( c ) и ( d ).

Согласно данным задачи, средняя линия трапеции равна 12 см. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:

[
m = \frac{a + b}{2}
]

Где ( m ) — длина средней линии. Подставим значение:

[
12 = \frac{a + b}{2}
]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[
a + b = 24
]

Также известно, что периметр трапеции равен 48 см. Периметр трапеции выражается как:

[
P = a + b + c + d
]

Подставим значение периметра:

[
48 = a + b + c + d
]

Теперь подставим ( a + b = 24 ) в уравнение с периметром:

[
48 = 24 + c + d
]

Таким образом, мы получаем:

[
c + d = 48 - 24 = 24
]

Теперь мы имеем две суммы:

Сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть:

[
a + b = c + d
]

Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы в трапецию можно было вписать окружность. Таким образом, мы доказали, что в данную трапецию можно вписать окружность.