Давайте оформим доказательство свойства равнобедренного треугольника, согласно которому медиана, проведенная из вершины к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой.

Дано:

Равнобедренный треугольник ( ABC ), в котором ( AB = AC ). Пусть ( M ) — основание медианы, проведенной из вершины ( A ) к основанию ( BC ).

Требуется доказать:Медиана ( AM ) является высотой, то есть перпендикулярна основанию ( BC ).Медиана ( AM ) является биссектрисой, то есть делит угол ( \angle A ) пополам.Доказательство:1. Докажем, что медиана ( AM ) является высотой.

Шаг 1: Так как треугольник ( ABC ) равнобедренный, то отрезок ( BC ) делится на два равных отрезка: ( BM = CM ) (по определению медианы).

Шаг 2: Рассмотрим треугольники ( ABM ) и ( ACM ). У этих треугольников:

( AB = AC ) (по условию)( BM = CM ) (так как ( M ) — середина ( BC ))( AM ) общая сторона.

Следовательно, согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), мы имеем:
[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
]

Шаг 3: Из равенства треугольников следует, что углы ( \angle ABM = \angle ACM ), и стороны ( AM ) вертикальны, это значит:
[
\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ
]

Таким образом, ( AM ) перпендикулярна ( BC ). Значит, ( AM ) — высота треугольника ( ABC ).

2. Докажем, что медиана ( AM ) является биссектрисой.

Шаг 1: Из равенства треугольников ( ABM ) и ( ACM ) также следует, что
[
\angle BMA = \angle CMA
]

Шаг 2: Поскольку углы ( AMB ) и ( AMC ) равны, то их сумма вместе с углом ( A ) равняется ( 180^\circ ):
[
\angle A = \angle ABM + \angle ACM
]

Согласно предыдущему шагу, так как ( \angle ABM = \angle ACM ), то:
[
\angle A = 2 \cdot \angle ABM
]

Это данный шаг показывает, что медиана ( AM ) делит угол ( \angle A ) пополам, то есть является биссектрисой.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.